简答题
高等数学二
2023-02-12
(本题满分l0分)
证明：2x>x2(x>4)．
参考答案
暂无
答案解析
令f(x)=2x-x2(x>4)，则f'(x)=2xln2—2x，由于此式不便判定符号，故再求出f”(x)．
又因f”(x)=2xln22—2>24ln22—2=2(2ln4·ln4—1)>0，所以f'(x)单调增加，故f'(x)>f'(4)=24ln2—8=8(2ln2—1)=8(ln4—1)>0，
得到f(x)单调增加，故f(x)>f(4)，即2x-x2>f(4)=24—42=0，
因此2x>x2(x>4)．
又因f”(x)=2xln22—2>24ln22—2=2(2ln4·ln4—1)>0，所以f'(x)单调增加，故f'(x)>f'(4)=24ln2—8=8(2ln2—1)=8(ln4—1)>0，
得到f(x)单调增加，故f(x)>f(4)，即2x-x2>f(4)=24—42=0，
因此2x>x2(x>4)．