简答题
2021-05-05
设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数f(0)=f(2)=0，M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]，
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，2)，使得|f'(ξ)|≥M；
(Ⅱ)若对任意的x∈(0，2)，|f’(x)|≤M，则M=0．
参考答案
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答案解析
(Ⅰ)由M=max{|f(x)|}，x
[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M.若
c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点
∈(0，c)，使
(Ⅱ)若M>0，则c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在
∈(0，2)，使f’()=0．
当／∈(0，c]时，
于是2M<Mc+M(2-c)|=2M矛盾，
故M=0．
[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M.若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点
∈(0，c)，使(Ⅱ)若M>0，则c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在
∈(0，2)，使f’()=0．当
／∈(0，c]时，于是2M<Mc+M(2-c)|=2M矛盾，
故M=0．
经正交变换
化为二次型g(y1，y2)=
，其中a≥b．
，A
，Y=X3X1+(1-X3)X2．
(x)表示；