简答题
中学数学
2023-06-08
(10分)已知函数
直线y=ex+2-e为曲线在点(1以1))处的切线方程。
(1)求a，b的值；(3分)
(2)证明f(x)-1>0。(7分)
参考答案
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答案解析
(1)函数f(x)的定义域为
题意得
(2)由(1)可知,
设函数
时，g’(x)>0，此时g(x)单调递增，故g(x)在(0，+∞)上有最小值为
设函数
，此时h(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，h’(x)<0，此时h(x)单调递减，故h(x)在(0，+∞)上有最大值为
综上，g(x)的最小值和h(x)的最大值不是在同一点处取得，故在(0，+∞)上恒有g(x)＞h(x)，即f(x)-1>0。
题意得 (2)由(1)可知,
设函数时，g’(x)>0，此时g(x)单调递增，故g(x)在(0，+∞)上有最小值为 设函数
，此时h(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，h’(x)<0，此时h(x)单调递减，故h(x)在(0，+∞)上有最大值为 综上，g(x)的最小值和h(x)的最大值不是在同一点处取得，故在(0，+∞)上恒有g(x)＞h(x)，即f(x)-1>0。
