简答题
小学数学
2019-03-28
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD．
参考答案
暂无
答案解析
证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD．
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE．
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD．
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由（1）知PA⊥底面ABCD．
所以PA⊥CD．
所以CD⊥平面PAD．
所以CD⊥PD．
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF．所以CD⊥EF．
所以CD⊥平面BEF．
又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD．
规律总结：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD．
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE．
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD．
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由（1）知PA⊥底面ABCD．
所以PA⊥CD．
所以CD⊥平面PAD．
所以CD⊥PD．
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF．所以CD⊥EF．
所以CD⊥平面BEF．
又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD．
规律总结：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．
